Polinomio característico, valores propios y vectores propios

El polinomio característico de una matriz n´ n, A, es el polinomio de grado n en la variable t que se obtiene haciendo det(A-tI), siendo I la matriz identidad de la misma dimensión que A. Las raíces del polinomio característico se denominan autovalores o valores propios de A. Un autovector o vector propio es cualquier vector  que es solución del sistema lineal homogéneo , siendo  un valor propio.

La interpretación geométrica de todo esto es la siguiente: podemos ver la matriz A como la matriz asociada a una transformación lineal de Rⁿ (o Cⁿ), de modo que cada vector se transforma en el vector ; entonces un autovector o vector propio de A es un vector  que cumple , para un cierto escalar ,llamado valor propio. Los vectores propios con un mismo valor propio  forman un subespacio vectorial cuyas ecuaciones implícitas vienen dadas por el sistema lineal homogéneo que tiene por matriz de coeficientes A -I.

La función poly(A) encuentra el polinomio característico asociado a la matriz cuadrada A.

Ejemplo:
 

El polinomio característico sería x³ – 6x² –72x –27. Las raíces de este polinomio son los valores propios.
 
 

También se pueden calcular los autovalores directamente desde la matriz A mediante la función eig.
 

Para el cálculo de vectores propios, se utiliza la función [v,d]=eig(A).
 

Cada columna de v es un vector propio cuyo valor propio es el que aparece en la misma columna en d. Esto es, (0.7471, -0.6582, 0.0931) es un vector propio de valor propio -0.3884, (-0.2998, -0.7075, -0.6400) es un vector propio de valor propio 12.1229, etc. El rango de la matriz v nos dará exactamente la suma de las dimensiones de los espacios de vectores propios de A.
 

Forma canónica de Jordan y matriz de paso en MATLAB.

Una matriz de Jordan es una matriz cuadrada que toma cualquier valor en la diagonal principal, contiene 0 o 1 en la línea encima de la diagonal y el resto de sus elementos son 0.El teorema de clasificación de Jordan afirma que toda matriz cuadrada (real o compleja) es semejante a una matriz de Jordan (compleja). En otras palabras, dada una matriz cuadrada A existe una matriz de Jordan J y una matriz no singular P (det(P)0) tal que J = P^-1AP. A J se le llama forma canónica de Jordan de A y a P se le llama matriz de paso o de cambio de base (la matriz de paso no es única).

Cuando la suma de las dimensiones de los espacios de vectores propios de una matriz nxn, A, es exactamente n, la forma canónica de Jordan de A es una matriz diagonal que contiene los valores propios de A en la diagonal, mientras que la matriz de paso P contiene por columnas una base de cada uno de los espacios de vectores propios. En este caso decimos que la matriz A es diagonalizable.

La Toolbox de matemática simbólica permite calcular la forma canónica de Jordan y la matriz de paso mediante la función jordan.

Dada f la función jordan tiene dos formulaciones posibles:

Ejemplo:
 

Naturalmente se cumple la condición de semejanza: j = v^-1 * f * v

debemos recomponer la v en una sola matriz a partir de sus filas:
 
 

Obsérvese que si hubiésemos usado la rutina eig tendríamos un resultado análogo, con una matriz de paso diferente.
 

Esto es debido a que la matriz f es diagonalizable. Dejamos para el lector comprobar que D = C^-1f C. Observar que la primera (resp. la segunda) columna de V y la primera (resp. la segunda) columna de C son proporcionales, luego generan el mismo subespacio vectorial.

Ejemplo:
Dada la matriz A siguiente calcular autovalores y autovectores.
 
 

Luego los valores propios son 1 ,5 y 5

Veamos los autovectores

Expresamos A-tI de la manera siguiente

Autoespacio V₁(1)
 

3x + y + 2z = 0

2x +3y - 3z = 0

Autovector (-9/7 , 13/7 , 1)

Autoespacio V₁(5)
 

-x + y + 2z = 0

2x – y - 3z = 0

Autovector (1 , -1 , 1) doble

También se podría haber hecho directamente
 
 

Obsérvese que en este caso las dos últimas columnas de P son proporcionales, por lo tanto det(P)0, con lo cual a y D no son semejantes. Esto es debido a que los dos espacio de vectores propios (el correspondiente al valor propio 1 y el correspondiente al valor propio 5) tienen dimensión 1, por lo tanto A no es diagonalizable.
 

Exponencial de una matriz.

Se define la exponencial de una matriz A como aquella matriz que resulta límite de la siguiente matriz de series de potencias siguiente:

Ejemplos