RAZÓN DOBLE
La razón doble de cuatro
puntos alineados A, B, C, D se define como (A,B,C,D) = 
siendo 
la distancia orientada
(es decir, con signo) entre A y C, etc. Cuatro puntos A, A’, B y B’ decimos que
forman una cuaterna armónica (o equivalentemente que B’ es el conjugado
armónico de B con respecto a A y A’) si y sólo si (A,A’,B,B’) = - 1.
Puedes añadir a Cabri el siguente macro para el cálculo de la razón doble de cuatro puntos alineados
Comprobemos con Cabri que la razón doble permanece invariante por
proyecciones, y que es, por tanto, un invariante proyectivo. De hecho, en
dimensión uno es equivalente dar una estructura proyectiva a asignar razón
doble de cada elemento respecto de tres elementos fijados, y una aplicación es
una trasformación proyectiva si y sólo si conserva la razón doble.
|
|
Consideramos un punto P y una recta r. Tomamos
cuatro puntos de r que denotamos por 1, 2, 3, 4 y calculamos (usando el macro
"razon doble") su razón doble.
Proyectamos los cuatro puntos desde P y obtenemos cuatro rectas a1, a2, a3,
a4. Cortamos estas rectas con otra recta cualquiera r’ y calculamos la razón
doble de los puntos de intersección 1’, 2’, 3’, 4’. Observamos que ambas
razones dobles son iguales. |
Esto nos permite asignar razón doble a cuatro rectas a1, a2, a3, a4 de un haz, cortando con una recta cualquiera r y calculando la razón doble de los puntos de intersección. Por lo que acabamos de ver, esta razón doble sólo depende de las rectas a1, a2, a3, a4 y no de la recta r elegida.
De esta forma podemos observar que un haz de rectas tiene una estructura proyectiva, y dada una recta que no esté en el haz, la aplicación que a cada recta del haz le hace corresponder el punto de intersección con esta recta es una transformación proyectiva (porque conserva la razón doble).
Página creada y
mantenida por Mª Pilar Vélez
http://www.nebrija.es/~pvelez
Para cualquier
duda o sugerencia contactar con
pvelez@nebrija.es