POLARIDAD Y DUALIDAD

Polar recíproca de una cónica:

Abrir la figura ‘polar reciproca de una conica’. Aparecerán dos cónicas C y A. Consideremos un punto P en A y calculemos su polar. Cuando P se mueve recorriendo A, su polar también se mueve. ¿Sigue alguna pauta en su movimiento?

Nota: Si no consigues determinar qué trayectoria sigue la polar selecciona el macro ‘polar recíproca’ y luego selecciona (en este orden) las cónicas A y C. Mueve ahora P. ¿Ves ahora como se mueve la polar al variar P sobre A?

La cónica que hemos dibujado se denomina polar recíproca de A con respecto a C, y tiene la propiedad de que sus rectas tangentes coinciden con las polares de los puntos de A respecto de C, y recíprocamente, sus puntos tienen por polos respecto de C a las tangentes a A.

Para calcular la polar recíproca de una cónica definida por 5 puntos se puede proceder como sigue:

Calcular las tangentes a la cónica en los puntos (esto se puede hacer conociendo sólo los 5 puntos mediante una aplicación del hexágono de Pascal (ver ‘Entorno al teorema de Pascal- 3) Cálculo de la tangente’). Los polos de estas 5 tangentes nos determinan 5 puntos de la polar recíproca, y así la polar recíproca queda determinada por 5 puntos.

Cónica definida por 5 tangentes:

Es un resultado bien conocido que 5 puntos genéricos (es decir, no hay 3 de ellos alineados) definen una cónica. Sin embargo no es tan bien conocido el resultado dual:

‘5 rectas en posición general no hay 3 concurrentes en un punto) determinan una única cónica que es tangente a todas ellas’.

En efecto, consideremos las 5 rectas y una cónica arbitraria C. Calculamos los polos de estas rectas respecto a C y estos puntos determinan una cónica. La polar recíproca de esta cónica respecto de C es la cónica pedida.

Asíntotas de una hipérbola:

Las asíntotas de una hipérbola son las tangentes a ella en los puntos de contacto con la recta del infinito. Por la dualidad asociada a la polaridad obtenemos (usando que la polar reciproca de una cónica con respecto a ella misma es la propia cónica) que las asíntotas se cortan en el centro de la cónica.

Podemos usar polaridad para calcular las asíntotas:

Dada la hipérbola H, tomamos otra cónica arbitraria C y calculamos la polar recíproca H’ de H con respecto a C (es conveniente que el centro de C esté en el interior de la hipérbola H para que H’ sea una elipse (Ver ‘tipos de cónicas afines y polaridad’)).

Calculamos el centro R de H, su polar r respecto de C y los puntos de corte de r con H’. Es fácil ver que las asíntotas son las polares de estos puntos respecto de C.

Tipos de cónicas afines y polaridad:

Abrir la figura ‘polaridad_tipos_de_conicas’. Aparecerá una cónica C y su centro, y otra cónica A. La pregunta es:

¿Qué tipo de cónica afín es la polar recíproca de A respecto de C según la posición relativa de A y el centro de C?

La respuesta es muy sencilla teniendo en cuenta la dualidad asociada a la polaridad:

Los distintos tipos de cónicas afines se caracterizan por los puntos de intersección de la cónica con la recta del infinito. Los puntos de corte de la polar recíproca de A con la recta del infinito se corresponden por polaridad a las tangentes a A desde el centro de C.

Por tanto:

1.- Si el centro de C está en el exterior de A, desde este punto se pueden trazar dos tangentes a A y por tanto la polar recíproca de A será una hipérbola.

2.- Si el centro de C está sobre A, hay una única tangente, luego la polar recíproca de A será una parábola.

3.- Si el centro de C está en el interior de A, no hay tangentes a A desde este punto, y la polar reciproca de A será una elipse.