CUADRÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
¨ El cuadránguloes la figura formada por cuatro puntos de modo no hay tres de ellos alineados.
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Los cuatros puntos son los vértices del cuadrángulo; las seis rectas que unen los vértices dos a dos son las aristas; los tres puntos de intersección de las aristas opuestas son los vértices diagonales; y el triángulo formado porlos vértices diagonales es el triángulo diagonal. |
Segundo Teorema de Desargues:
Consideremos un cuadrángulo ABCD y una recta d que no pase por ninguno de sus lados. Entonces, los lados opuestos del cuadrángulo cortan a la recta en tres pares de puntos P, P’; Q, Q’ y R, R’ que se corresponden por la misma involución.
Nota: Comprobamos con Cabri que (P,Q,R,R’) = (P’,Q’,R’,R), usando el macro "Razón doble".
¨ El cuadrilátero es la figura dual del cuadrángulo, es decir, la figura formada por cuatro rectas no tres a tres concurrentes. Las cuatro rectas son los lados del cuadrilátero, los seis puntos de intersección de las rectas dos a dos son los vértices, las tres rectas que unen dos vértices no sobre el mismo lado son las diagonales, y el triángulo formado por las tres diagonales es el triángulo diagonal.
- Dual del segundo teorema de Desargues.
- Construir un cuadrilátero y dar un punto O que no coincida con los vértices.
- Trazar las rectas p, p’ que unen O con dos vértices opuestos del cuadrilátero, después trazar las rectas q, q’ que unen O con otros dos vértices opuestos del cuadrilátero, y finalmente trazar las rectas r, r’ que unen O con los otros dos vértices opuestos del cuadrilátero.
- Trazar una recta r cualquiera y determinar los puntos P, P’, Q, Q’, R y R’ de intersección de r con las rectas p, p’, q’, q’, r y r’ respectivamente.
- Usando el macro "Razón doble", calcular las razones dobles siguientes: (P,Q,R,R’) y (P’,Q’,R’,R)
- Mover ahora la recta r y observar qué sucede.
- En un cuadrilátero una diagonal divide armónicamente las otras dos
- Enuncia tú un teorema:
- Construye un cuadrilátero y sus diagonales.
- Toma una recta r cualquiera y calcula los tres puntos de intersección P,Q y R de ésta con las tres diagonales.
- Para cada uno de los puntos de intersección calcula, usando el macro "cuarto armónico", su conjungado con respecto a los dos vértices correspondientes del cuadrilátero. Así, se tienen otros tres puntos P’, Q’ y R’, uno sobre cada una de las diagonales.
- Traza ahora la recta por P’ y Q’. ¿Qué pasa con el punto Q’?
- Mueve ahora la recta r y enuncia el teorema.
¨Dualidad entre cuadrilátero y cuadrángulo en una sola figura:
· Consideremos un cuadrángulo de vértices A, B, C y D inscrito en una cónica, y sean a, b, c y d los lados del cuadrilátero formado por las tangentes a la cónica en A, B, C y D. Comprobar que los respectivos triángulos diagonales (i.e. él del cuadrángulo y él del cuadrilátero) son conjugados con respecto a la cónica.
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