CÓNICAS PROYECTIVAS
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Consideremos un punto P y dos rectas r y r’. Una recta que
pase por P cortará a estas rectas en dos puntos, 1 y 1’ respectivamente. Consideremos
dos puntos A y A’ y las rectas que unen A con 1 y A’ con 1’. Sea 1’’ el punto
de intersección de estas rectas. ¿Cuál es el lugar geométrico de estos puntos
1’’? Moviendo la recta que pasa por P y por 1 observamos que el lugar geométrico que describe 1'' es una cónica. |
De hecho, este es un caso particular de la definición de cónica en geometría proyectiva sintética:
‘Una cónica es el lugar geométrico de los puntos de intersección de rectas homologas respecto a una transformación proyectiva entre dos haces de rectas’
En nuestro caso los haces de rectas son los determinados por A y A’, y la transformación proyectiva entre estos haces es la correspondiente a proyectar la existente entre r y r’.
Estructura proyectiva de una
cónica:
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Acabamos de verificar con Cabri que podemos definir la razón doble de
cuatro puntos sobre una cónica como la razón doble de sus proyecciones sobre
cualquier recta desde un punto de la cónica.
Esto nos permite dar una estructura proyectiva a la cónica. Además la
aplicación del haz de rectas definido por un punto de la cónica sobre esta, que
a cada recta le asigna el punto de corte con la cónica es una transformación
proyectiva.
Nótese que cuando el punto Q no está sobre la cónica, la razón doble (A’’, B’’, C’’, D’’) no coincidiría con (A, B, C, D). Por tanto, esta es una propiedad característica de las cónicas y no de otro tipo de curvas, y de hecho justifica la definición de cónica en geometría proyectiva sintética que aparece en la sección ‘Definición de cónica’.
Construcción del conjugado armónico en una cónica:
Como ejercicio podemos construir el conjugado armónico de un punto C en la cónica con respecto a otros dos A, B también en la cónica. Tomamos la recta que une A y B y calculamos su polo P (puedes usar el macro "polo"). El punto de corte de la recta PC con la cónica es el conjugado armónico de C respecto de Ay B.
En efecto, proyectando desde A y cortando con PC obtenemos P, B’, C, D, que es cuaterna armónica por ser P el polo de AB. (Para proyectar el punto A desde sí mismo se toma la tangente en A a la cónica y se corta con PC, obteniéndose P).
Si a la cónica le quitamos los puntos A y B, obtenemos dos componentes conexas. Comprobar que C y D están en distintas componentes y que cuando C recorre una de ellas D recorre la otra, como sucedía en la recta proyectiva.
En torno al Teorema de Pascal
Teorema de Pascal: Los lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica propia se cortan en tres puntos alineados.
Podéis intentar dibujar el hexagrama de Pascal, y a continuación probar las siguientes construcciones:
- Verificación del teorema: mover el punto A1 ( o cualquiera de los otros cinco) haciéndolo pasar por encima de los otros e ir comprobando que los puntos M, N, y L están siempre alineados.
- Tangentes: haced coincidir A1 y A2, ¿qué se obtiene?
- Construcción de la tangente:
· Dar 5 puntos enumerados A1=A2, A3, A4, A5, A6
· Trazar las rectas A2A3, A3A4, A4A5, A5A6 y A6A1.
· Considerar los puntos P = A2A3 ÇA5A6 y Q = A3A4 ÇA6A1, y trazar la recta PQ que pasa por ambos.
· Sea ahora R = PQÇ A4A5.
· Verificar que la recta RA1 es tangente a la cónica que pasa por los puntos A1=A2, A3, A4, A5 y A6 en el punto A1.
- Dual: dibujar el dual del teorema de Pascal (Teorema de Brianchon).
Teorema de Brianchon: Las diagonales que unen los vértices opuestos de un hexágono son tres rectas concurrentes si y sólo si el hexágono circunscribe una cónica
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Para trazar las tangentes puedes utilizar el macro "Polar" que dibuja la recta polar de un punto con respecto a una cónica. Si el punto está sobre la cónica la polar coincide con la tangente a la cónica en dicho punto.
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